16. Relaciones geométricas III - Teorema de Tales

Teoría de Tales y la proporción :

Tales de Mileto demostró que si dos rectas concurrentes se cortan con una serie de rectas paralelas, los segmentos que obtenemos son proporcionales. Teorema de Tales Si un haz de rectas paralelas cortan a 2 rectas concurrentes (Fig.2), los segmentos resultantes sobre la recta r son proporcionales a los determinados sobre la recta s. Son directamente proporcionales. AB/A’B’=BC/B’C’. También se cumple: AB/BC=A’B’/B’C’ Aplicaciones del Teorema de Tales: - División de un segmento en partes iguales: A partir de un extremo de un segmento, se traza una semirrecta sobre la que se marcan tantas divisiones iguales como partes en las que se quiera dividir el segmento. Unimos el último punto con el extremo del segmento y se trazan paralelas a esta recta por las divisiones obtenidas quedando así el segmento dividido en partes iguales (Fig.3). - División de un segmento en partes proporcionales: Se procede del mismo modo pero ahora las divisiones no son iguales. Las divisiones así obtenidas en el segmento mantendrán la misma proporción entre ellas que las dibujadas en la semirrecta trazada (Fig.4). Figura 1, proporcionalidad. Figura 2, Teorema de Tales. Figura 3, división de un segmento en partes iguales. Figura 4, división de un segmento en partes proporcionales. EJERCICIO:  1. Aplicación del Teorema de Tales para crear un polígono proporcional a otro: 1.1 Basándonos en este teorema, podemos construir una figura semejante y proporcional a otra. En este ejemplo vamos a crear un polígono proporcional una tercera parte mayor al original. Primero lo situamos en un eje de coordenadas y proyectamos perpendicularmente sus vértices a los ejes de coordenadas. Marcamos en cada eje la la distancia proporcional que vamos a ampliar a partir de último punto. 1.2 Ahora trasportamos los puntos con el compás a dos rectas oblicuas que salen desde el origen con un ángulo cualquiera. 1.3 Unimos cada punto final con el extremo de nuestra nueva medida en los dos ejes y desde estas trazamos líneas paralelas que pasen por los puntos proyectados y corten los ejes, aplicando el teorema de Tales. 1.4 Volvemos a unir los puntos de proyección. 1.5 De esta forma creamos la nueva figura, 1/3 mayor y proporcional a la original.